Geometri Riemann

GEOMETRI RIEMAN

10. Garis Sebagai Bangun Tertutup

Dalam dua geometri eliptik ini, sifat penting lainnya diabaikan, yakni bahwa suatu garis merupakan bangun terbuka tak terbatas yang dipisahkan menjadi dua bagian ( garis berarah ) oleh setiap titiknya.

Pertama, pertimbangkan geometri eliptik tunggal. Dengan menguji situasi yang ditunjukkan oleh gambar 4.14 (b) dalam pembuktian teorema bahwa dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama akan sejajar, terlihat bahwa jika teorema geometri eliptik tunggal mungkin digunakan, titik C’ haruslah berimpit dengan C. Jadi dalam memperpanjang CA hingga C’, Artinya kembali ke titik C lagi. Dengan kata lain, telah dijejaki keseluruhan garis CA yang terdiri atas segmen CA dan perluasannya. Akibatnya suatu garis disusun sebagai suatu bangun tertutup. Jadi berlaku bahwa suatu titik tidak memisahkan suatu garis menjadi dua bagian, tetapi dua titik dari suatu garis akan memisahkan titik tersebut menjadi dua segmen, sehingga penentuan pada garis tersebut tidak pada satu segmen saja tetapi pada dua segmen yang merupakan titik-titik ujung yang sama.

Konsepsi garis ini mungkin saja termotivasi dalam geometri eliptik ganda dengan cara berikut ini. Misalkan garis L diketahui dan misalkan A merupakan titik dari L (gambar 4 15). Misalkan M Tegak lurus dengan L di A. Maka L dan M bertemu pada titik ke dua B. Adapun konsep garisnya, diperlukan A dan B sebagai titik ujung dari satu segmen, setidaknya, termuat dalam L. Misalkan S suatu segmen yang menghubungkan A dan B, yang termuat dalam L. Karena M memisahkan bidang tersebut dan M bertemu dengan L tepat pada dua titik, S haruslah (terpisah dari titik ujung) seluruhnya berada pada satu sisi M.

Selanjutnya, ingin dibuktikan bahwa setiap titik L pada sisi M yang diketahui, berada pada S. Konsep garis diperlukan syarat bahwa sembarang titik L yang tidak pada segmen S haruslah merupakan perluasan dari S diluar satu titik ujungnya A atau B. Tetapi dalam proses perluasan S diluar A atau B, garis L “melewati” M, dan masuk pada sisi M yang berhadapan dengan S. Jadi sebarang titik dari L pada sisi yang sama dari M sebagai S haruslah pada S, dan disimpulkan bahwa S menyatakan bagian dari L pada sisi M yang diketahui.

Akan di argumentasikan pernyataan bahwa ada segmen S’, yang termuat dalam garis L, yang menghubungkan A dan B pada sisi lain dari M dan menyatakan bahwa bagian dari L pada sisi M tersebut. Untuk tujuan ini ingat kembali bahwa ide cardinal geometri bidang Euclid (dari geometri netral) yang menyatakan bahwa sebarang bangun F dapat dicerminkan (secara tidak tegak lurus) pada garis yang diketahui untuk menghasilkan bangun simetrik F’. Teori simetri ini perlu dipakai dalam geometri eliptik ganda. Jadi akan ada bangun S’ yang simetrik dengan segmen S yang menghubungkan A dan B pada sisi lain dari M dari titik S. Karena S merupakan segmen, S’ juga merupakan segmen. Karena S tegak lurus dengan M di A, segmen simetrik S’ juga tegak lurus dengan M di A. Karena S dan S’ merupakan segmen yang tegak lurus pada garis yang sama pada titik yang sama, maka S dan S’ harus bertemu dalam satu garis yakni S’ termuat dalam L. Dengan menggunakan argument dari paragraph terakhir, sebarang titik dari L pada sisi yang sama dari M seperti S’, haruslah pada S’. Disimpulkan bahwa L dinyatakan oleh segmen S dan S’. Jadi, diyakinkan bahwa garis sebagai bangun tertutup, seperti dalam geometri eliptik tunggal.

11. Representasi Bola Pejal Euclid

Pada awalnya geometri eliptik seperti merupakan teori geometri yang aneh, tetapi geometri eliptik dapat ditunjukkan menggunakan konsep Euclid. Representasi ini melibatkan geometri bola pejal Euclid dan cukup sederhana untuk geometri eliptik ganda. Tabel berikut ini mendaftarkan beberapa konsep dasar geometri eliptik ganda dan representasinya pada bola pejal Euclid (gambar 4.16).

Gambar 4.16

Geometri Eliptik Ganda	Representasi Euclid
Titik	Titik pada bola pejal S
Garis	Lingkaran besar dari S
Bidang	Bola pejal S
Segmen	Busur lingkaran besar S
Jrak antara dua titik	Panjang busur terpendek dari lingkaran besar S yang menghubungkan dua titik
Sudut ( yang dibentuk oleh dua garis)	Sudut bola pejal (yang dibentuk oleh dua lingkaran besar)
Ukuran sudut	Ukuran sudut bola pejal

Perhatikan bahwa postulat sejajar Riemann akan terpenuhi dalam representasi ini, setiap dua garis (lingkaran besar) bertemu dan kenyataannya tepat pada dua titik. Selanjutnya, postulat pemisahan akan terpenuhi karena setiap lingkaran besar akan memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan. Misalnya, ekuator memisahkan bola dunia menjadi belahan bumi bagian utara dan belahan bumi bagian selatan sehingga sebarang busur dari lingkaran besar yang menghubungkan titik pada satu belahan bumi ke titik pada belahan bumi lainnya pasti akan bertemu di ekuator. Akhirnya sebagai catatan bahwa setiap garis akan tampak sebagai bangun yang tertutup.

Hati-hati terhadap kesukaran pemikiran yang menyatakan bahwa geometri eliptik ganda merupakn geometri bola pejal Euclid dengan nama yang baru, sehingga disebut sebagai lingkaran besar suatu garis, suatu busur lingkaran besar suatu segmen dan lain-lain. Agak bertentangan, Riemann telah mengatur teori abstrak baru tentang garis berperilaku. Mungkin dinyatakan bahwa, teori kelurusan baru yang kontradiksi dengan teori Euclid pada beberapa poin. Akibatnya, garis Riemann tidak dapat ditunjukkan sesungguhnya dengan menggunakan garis Euclid pada bidang Euclid dan perlu diperhatikan bahwa garis Riemann tersebut dapat ditunjukkan dengan menggunakan lingkaran besar pada suatu bola pejal Euclid.

A

B

Gambar 4.17

Representasi goemetri eliptik tunggal diturunkan dari geometri ganda dengan menggunakan peralatan yang cukup baik. Lingkaran besar pada bola pejal tidak menunjukan suatu garis geometri eliptik tunggal, karena dua lingkaran besar selalu berpotongan menjadi dua titik yang berhadapan secara diameter. Untuk mencoba mengelakkan kesulitan ini, anggaplah bahwa dopertimbangkan sebarangdua titik yang berhadapan pada bola pejal sebagai titik yang sama atau dapat dikatakan bahwa disetujui untuk mengidentifikasi sebarang titik dan titik sehadapnya. Maka dapat dinyatakan geometri eliptik tunggal dinyatakan dengan lingkaran besar (dengan persetujuan bahwa titik yang sehadap telah diidentifikasikan). Segmen dinyatakan dengan busur minor lingkaran besar(karena busur mayor atau semi lingkaran menunjukan keseluruhan garis). Untuk menentukan jarak antara dua titik yang ditunjukan oleh A dan B, ingatlah bahwa A dan titik sehadapnya yakni A’ menunjukan titik yang sama, begitupun untuk B dan titik sehadapnya B’ (GAMBAR 4. 17). Jadi jarak diambil sebesarv panjang dari sumbu minor yang lebih kecil yakni AB, AB’ (atau secara ekivalen sumbu minor A’B , A’B’ ). Sudut dan ukurannya ditunjukan seperti dalam geometri eliptik ganda.

Perhatikan bahwa dalam representasi ini, seperti dalam representasi sebelumnya, suatu garis merupakan bangun tertutup dan postulat sejajar Riemann terpenuhi. Tetapi sekarang karena titik yang sehadap teridentifikasi, dua garis akan bertemu dalam satu titik saja. Juga berlaku bahwa postulat yang menyatakan dua titik menentukan suatu garis, juga terpenuhi. Tambahan pula, tidak sulit melihat bahwa potulat pemisahan akan gagal.