Geometri Affine

TEORI GEOMETRI AFFINE

I. Pengantar

Geometri Insidensi disebut Geometri Affine jika geometri itu memenuhi postulat berikut :

Postulat E :

Jika titik A tidak berada pada garis , maka ada satu dan hanya satu garis m sedemikian sehingga m memuat titik A dan m ⁄⁄

	A

Geometri Affine meliputi sifat-sifat kesejajaran garis dan bidang yang ada pada geometri bidang dan ruang euclide.

Cara-cara pembuktian lebih terbatas daripada geometri sekolah, contohnya : sifat-sifat paralel dibuktikan oleh sifat-sifat kongruensi atau ketegaklurusan.

Metode-metode ini tidak tersedia disini hanya berdasarkan asumsi dari postulat-postulat geometri insidensi dan Postulat E

II. Kata “On” untuk Insidensi

“A is on ” artinya ”titik A dalam garis ”

“ is on A” artinya “garis memuat titik A (sebagai unsur)”, A

Jika bidang ”A is on ” artinya “titik A dalam bidang ” atau ” is on A” artinya “bidang memuat titik A”

“ is on ” artinya ”garis terdapat di bidang `(sebagai subset)”,

” is on ” artinya ”bidang memuat garis (sebagai subset)”,

Bila dijumpai “A is on ” dan ” is on A” ini berarti “A is on ” adalah relasi kebalikan dari ” is on A”

III. Kesejajaran Garis

Corollary pada postulat E:

A, A, A, dan

Bukti :

dan m ⁄⁄ (Postulat E)

Misal () , berarti A m, A (definisi kesejajaran) .

Maka hanya ada satu bidang yang memuat sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis (T3 Bab 7)

A dan A

akibatnya =

sehingga

Teorema 1. Dua garis berbeda yang paralel pada garis yang sama adalah saling paralel

Pernyataan : n , ⁄⁄ m dan n ⁄⁄ m à ⁄⁄ n

Bukti :

Kasus 1: Jika , m dan n sebidang

Andaikan ⁄⁄ nberarti n

A A, A n à A m (karena ⁄⁄ m)

Berarti ⁄⁄ m dan n ⁄⁄ m (kontradiksi dg postulat E)

sehingga pernyataan ⁄⁄ n adalah salah. Karena , n sebidang, dengan definisi garis sejajar, maka ⁄⁄ n

Kasus 2. Jika , m dan n tidak sebidang

A

⁄⁄ m dengan akibat teorema bahwa sebuah garis dan sebuah titik yang tidak pada garis tersebut hanya dapat dibuat satu dan hanya satu bidang, ada bidang yang tunggal memuat garis dan m.

, m dan n tidak sebidang à A n, A

A dan dan (corollary teorema 7)

Karena An dan , berarti n’ = n (postulat E)

Akibatnya

Corollary: Jika ⁄⁄ m dan m ⁄⁄ n, maka = n atau ⁄⁄ n

Bukti:

Untuk ⁄⁄ n sudah dibuktikan sebelumnya

Akan dibuktikan = n

Andai n dan ⁄⁄ n A A , n

⁄⁄ m, x n à n ⁄⁄ m , kontradiksi

Jadi haruslah = n

Definisi : Jika dan m mempunyai sifat bahwa ⁄⁄ m atau = m, kita katakan , m mempunyai arah yang sama

Kesearahan garis dapat dianggap sebagai perluasan kesejajaran. Disamping itu kesearahan adalah suatu relasi ekuivalen. Pada sebarang garis , m dan n berlaku :

(i) cod

(ii) Jika cod m, maka m cod

(iii) Jika cod m dan m cod n, maka cod n

Definisi : Andai S sebuah himpunan dan R adalah sebuah relasi dalam S, untuk sebarang a, b, c S, berlaku :

(i) aRa (refleksi)

(ii) Jika aRb maka bRa (simetri)

(iii) Jika aRb dan bRc maka ac (transitivies)

IV. Perpotongan Garis

Definisi : garis melintang pada m atau adalah garis yang dilintangi dari M, atau dan m melintang, ditulis tr m jika memotong m dan m

tr m m adalah sebuah titik

Untuk sebarang garis , m yang sebidang maka terdapat tiga kemungkinan :

(i)

(iii) tr m

(iii) = m

Definisi. Dikatakan tranvers ke m, atau merupakan tranversal dari m, atau dan m transvers, ditulis tr m, jika membagi m dan .

Selanjutnya, mudah dibuktikan bahwa pernyataan ini berlaku :

tr m jika dan hanya jika perpotongan dari dan m merupakan titik. Untuk sebarang garis koplanar , m akan

(i)

(iii) tr m

(iii) = m

Teorema 2.

Dalam satu bidang, garis yang transvers pada salah satu dari dua garis yang sejajar maka akan transvers pada garis sejajar yang lainnya.

Pernyataan : , , n tr n tr m

Bukti :

Misal A

Andai n tidak tr m, berarti n = m atau

n = m berarti A n dan Am

berarti An, A dan Am kontradiksi dengan Postulat E

Pengandaian salah berarti n tr m

Soal : Nomor 2 hal 178

Jika ⁄⁄ P, apakah sejajar dengan setiap garis pada P?

Jawab:

⁄⁄ P , x, xP à x ⁄⁄

Andai yP, y X à ⁄⁄ P kontradiksi

Berarti x ⁄⁄